Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Gọi D' là đỉnh thứ tư của hình bình hành SADD'.

Khi đó DD'//SA mà $SA\perp \left(SBC\right)$ nên $DD\text{'}\perp \left(SBC\right)$.

Ta có $\widehat{\left(SD,\left(SBC\right)\right)}=\alpha =\widehat{DSD\text{'}}=\widehat{SDA}$, do đó $SA=AD.\tan \alpha =2a\tan \alpha$.

Đặt $\tan \alpha =x,x\in \left(0;1\right)$.

Gọi H là hình chiếu của S lên AB, ta có $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH.S_{ABCD}=\frac{4a^2}{3}.SH$.

Do đó $V_{S.ABCD}$ đạt giá trị lớn nhất khi SH lớn nhất.

Vì $△SAB$ vuông tại $S$ nên $$\begin{gathered} SH=\frac{SA.AB}{AB}=\frac{SA\sqrt{A{B}^2-S{A}^2}}{AB}=\frac{2ax\sqrt{4a^2-4a^2{x}^2}}{2a} \\ =2ax\sqrt{1-x^2}\le 2a.\frac{x^2+1-x^2}{2}=a \end{gathered}$$.

Từ đó $maxSH=a$ khi $\tan \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $\max V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}a.4a^2=\frac{4}{3}{a}^3$.