Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

(S): $\left\{\begin{array}{l}O(0;0;0)\\ R=2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Có $OM=1<2\sqrt{2}$ nên M nằm trong (S)

Dựng $OH\perp AB(H\in AB)$, đặt OH = x. Khi đó $0\le x\le OM=1$

Khi đó diện tích tam giác OAB là: $S_{OAB}=\frac{1}{2}OH.AB=\frac{1}{2}OH.2HB=OH.\sqrt{O{B}^2-O{H}^2}=OH\sqrt{8-O{H}^2}=x\sqrt{8-x^2}=f\left(x\right)$

Xét hàm số $f\left(x\right)=x\sqrt{8-x^2}$ với $x\in \left[0;1\right]$

$f\text{'}\left(x\right)=\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}=\frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\left(L\right)\\ x=-2\left(L\right)\end{array}\right.$

Có f(0)=0; $f\left(1\right)=\sqrt{7}$. Vậy $\underset{\left[0;1\right]}{\max f}\left(x\right)=\sqrt{7}\Rightarrow S_{\max }=\sqrt{7}$.