Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn modun

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $\text{w}=z_1-9-12i\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|\text{w-}{z}_2\right|=3\\ \left|\text{w+6-8i}\right|+\left|z_2\right|=7\end{array}\right.$

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức w và z₂. Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}AB=3\\ AM+OB=7\end{array}\right.$ với điểm M(-6;8).

$\Rightarrow AB+AM+OB=10=OM$. Suy ra A, B thuộc đoạn OM.

Suy ra $\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OM}=(-6x;8x)$ và $\overrightarrow{OB}=y\overrightarrow{OM}=(-6y;8y)$ với $x,y\in \left[0;1\right]$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\text{w}=-6x+8xi\\ z_2=-6y+8yi\end{array}\right.$ với $x,y\in \left[0;1\right]$

Khi đó $P=\left|-6x+8xi-12y+16yi+21-3i\right|$

Hay $P=\sqrt{{(-6x-12y+21)}^2+{(8x+16y-3)}^2}$. Đặt $t=x+2y,t\in \left[0;3\right]$

Khi đó $P=\sqrt{100t^2-300t+450}$

Khảo sát hàm số $f\left(t\right)=100t^2-300t+450$ trên đoạn $\left[0;3\right]$ ta được

$\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(0\right)=450,\underset{}{\underset{\left[0;3\right]}{min}f\left(t\right)=f\left(\frac{3}{2}\right)}=225$

Từ đó suy ra $M=\sqrt{450},m=15$. Vậy $M^2-m^2=225.$