Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách 1: Do $AD//BC\Rightarrow \left(SAD\right)\cap \left(SBC\right)=d//BC$

Gọi EF lần lượt là trung điểm của BC, AD

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}FS\perp d\\ ES\perp d\end{array}\right.\Rightarrow \left(\left(SAD\right),\left(SBC\right)\right)=\widehat{ESF}={60}^o$

$\Rightarrow \Delta SEF$ đều.

Đặt $AB=EF=a\Rightarrow SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\left(\left(BCM\right),\left(ABCD\right)\right)=\widehat{MKH}=\gamma$(như hình vẽ)

Với H, K lần lượt là trung điểm của AO, BE. Khi đó:

$MH=\frac{SO}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4},\frac{HK}{AB}=\frac{CH}{CA}=\frac{3}{4}\Rightarrow HK=\frac{3a}{4}$

Suy ra: $\tan \gamma =\frac{MH}{HK}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \gamma ={30}^o$

Cách 2: Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với

Ta có: $A\left(-1;0;0\right),B\left(0;-1;0\right),C\left(1;0;0\right);D\left(0;1;0\right);S\left(0;0;a\right)$ với a>0

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AD}=\left(1;1;0\right)\\ \overrightarrow{AS}=\left(1;0;a\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}=\left[\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AS}\right]=\left(a;-a;-1\right)$

$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}=\left(1;1;0\right)\\ \overrightarrow{BS}=\left(0;1;a\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}=\left[\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BS}\right]=\left(a;-a;1\right)$

Suy ra $\cos \left(\left(SAD\right),\left(SBC\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}.\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{n_{\left(SAD\right)}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(SBC\right)}}\right|}=\frac{\left|2a^2-1\right|}{2a^2+1}=\frac{1}{2}$

$\iff \left[\begin{array}{l}2a^2+1=2\left(2a^2-1\right)\\ 2a^2+1=-2\left(2a^2-1\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}a=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ a=\frac{\sqrt{6}}{6}\end{array}\right.$

Xét $a=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (với $a=\frac{\sqrt{6}}{6}$ ta có kết quả tương tự).

Khi đó $S\left(0;0;\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{6}}{4}\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}=\left(1;1;0\right)\\ \overrightarrow{BM}=\left(-\frac{1}{2};1;\frac{\sqrt{6}}{4}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(BCM\right)}}=\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BM}\right]=\left(\frac{\sqrt{6}}{4};-\frac{\sqrt{6}}{4};\frac{3}{2}\right)$ song song với vectơ $\left(1;-1;\sqrt{6}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n_{\left(ABCD\right)}}=\overrightarrow{n_{\left(Oxy\right)}}=\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Suy ra $\cos \left(\left(BCM\right),\left(ABCD\right)\right)=\frac{\left|\sqrt{6}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+6.1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left(\left(BCM\right),\left(ABCD\right)\right)={30}^o$