Giả sử z1;z2 là hai trong số các số phức

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$, khi đó:

$\left(z+i\right)\left(\overline{z}+3i\right)=\left[x+\left(y+1\right)i\right].\left[x-\left(y-3\right)i\right]$ là số thuần ảo

$\iff$ phần thực: $x^2+\left(y+1\right)\left(y-3\right)=0\iff x^2+{\left(y-1\right)}^2=4\left(*\right)$

Gọi $\left\{\begin{array}{l}A\left(z_1\right)\\ B\left(z_2\right)\end{array}\right.\underset{\left(*\right)}{\overset{\left|z_1-z_2\right|=3}{\to }}AB=3$

Và A, B thuộc đường tròn tâm I(0;1) và bán kính R = 2.

Xét điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\left(2*\right)$

Khi đó: $P=\left|z_1+2z_2\right|=\left|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\right|={\left|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)\right|}^{\left(2*\right)}=3\left|\overrightarrow{OM}\right|=3OM$

Gọi H là trung điểm của AB, khi đó với (2*), suy ra: $\left\{\begin{array}{l}MH=BH-BM=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\\ IH=\sqrt{I{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{2^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow IM=\sqrt{M{H}^2+I{H}^2}=\sqrt{2}$

Suy ra M thuộc đường tròn tâm I(0;1), bán kính $R=\sqrt{2}$.

Khi đó: $P_{\min }=3O{M}_{\min }=3OC=3\left(OI+r\right)=3\left(1+\sqrt{2}\right)=3+3\sqrt{2}$