Cho hình chóp  có đáy ABCD là hình chữ nhật

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $\left(MPQ\right)//\left(SAC\right)$ $\Rightarrow \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\left(MN,\left(MPQ\right)\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow NH\perp \left(MPQ\right)$

Suy ra: $\left(MN,\left(MPQ\right)\right)=\widehat{NMH}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}NH=\frac{2S_{NPQ}}{PQ}=\frac{2.\frac{1}{4}{S}_{ABCS}}{\frac{AC}{2}}=\frac{S_{ABCD}}{AC}=\frac{AB.BC}{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}=\frac{a\sqrt{2}.2a}{a\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}\\ MN=\sqrt{A{M}^2+A{N}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\end{array}\right.$

Suy ra: $MH=\sqrt{M{N}^2-N{H}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Suy ra $\cos \widehat{NMP}=\frac{MH}{MN}=\frac{a\sqrt{6}}{3}:a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.

Khi đó: $A\left(0;0;0\right),B\left(\sqrt{2};0;0\right),C\left(\sqrt{2};2;0\right),D\left(0;2;0\right),S\left(0;0;\sqrt{2}\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}M\left(\frac{\sqrt{2}}{2};0;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ N\left(0;1;0\right)\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{NM}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-1;\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{2};2;0\right)\\ \overrightarrow{AS}=\left(0;0;\sqrt{2}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS}\right]=\left(2\sqrt{2};-2;0\right)\Rightarrow \overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}=\left(\sqrt{2};-1;0\right)$

Suy ra $\sin \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u_{MN}}.\overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}\right|}{\left|\overrightarrow{u_{MN}}\right|.\left|\overrightarrow{n_{\left(SAC\right)}}\right|}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos \left(MN,\left(SAC\right)\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$