Cho dãy số (un) có un+1=10un+9

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: $u_{n+1}=10u_n+9\iff u_{n+1}+1=10.\left(u_n+1\right)\left(*\right)$

Đặt $v_n=u_n+1\stackrel{\left(*\right)}{\to }{v}_{n+1}=10v_n$, suy ra $v_n$ là một cấp số nhân với công bội q=10.

Suy ra: $v_n=v_1{.10}^{n-1}\iff u_n+1=\left(u_1+1\right){.10}^{n-1}\left(2*\right)$. Từ (2*), suy ra: $u_{10}+1=\left(u_1+1\right){.10}^9$

Khi đó: $$\begin{gathered} \log \left(u_{10}+1\right)=u_1+1\iff \log \left[\left(u_1+1\right){.10}^9\right]=u_1+1 \\ \iff 9+\log \left(u_1+1\right)=u_1+1\stackrel{Casio}{\iff }{u}_1=9 \end{gathered}$$

Suy ra: $u_n+1={10}^n\iff u_n={10}^n-1$

Khi đó: $u_n>{2018}^{2019}\iff {10}^n-1>{2018}^{2019}\Rightarrow {10}^n>{2018}^{2019}\Rightarrow n>2019\log 2018\approx 6672,64$

$\Rightarrow n_{\min }=6673$