Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt $t=x^3-3{\text{x}}^2\Rightarrow t^{\text{'}}=3{\text{x}}^2-6\text{x}=0\iff x\in \left\{0;2\right\}$. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra: 

+) Hàm số $y=x^3-3{\text{x}}^2$ nghịch biến trên $\left[1;2\right]\Rightarrow t\in \left[-4;-2\right]$.

Suy ra $(m^3-3m^2)\in \left[-4;-2\right]$ khi $m\in \left[1;2\right]$

$\Rightarrow (m^3-3m^2+5)\in \left[1;3\right]$ với $m\in \left[1;2\right]$.

+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình $f\left(t\right)=m^3-3m^2+5\iff \left[\begin{array}{l}t=t_1<-4\\ t=t_2\in (-4;0)\\ t=t_3\in (-4;0)\end{array}\right.$

+) Bảng biến thiên của hàm số $y=x^3-3{\text{x}}^2$ cho ta biết:

Với $t=t_1\Rightarrow x^3-3{\text{x}}^2=t_1<-4$: có 1 nghiệm.

Với $t=t_2\Rightarrow x^3-3x^2=t_2\in (-4;0)$: có 3 nghiệm.

Với $t=t_3\Rightarrow x^3-3{\text{x}}^2=t_3\in (-4;0)$: có 3 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả: 1+3+3=7 nghiệm.

Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn $m=1\in \left[1;2\right]$ để đưa phương trình về dạng: $f(x^3-3{\text{x}}^2)=3$

(Do số nghiệm của phương trình không đổi với $\forall m\in \left[1;2\right]$).