Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách 1: Gọi z=a+bi với $a,b\in ℝ$. Khi đó điều kiện bài toán tương đương:

$\left|a+bi-2-4i\right|=\left|a+bi-2i\right|\iff \left|(a-2)+(b-4)i\right|=\left|a+\left(b-2\right)i\right|$

$$\begin{gathered} \iff {\left(a-2\right)}^2+{\left(b-4\right)}^2=a^2+{\left(b-2\right)}^2\iff -4a-8b+20=-4b+4 \\ \iff a+b=4\iff b=4-a \end{gathered}$$

Suy ra: $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+{\left(4-a\right)}^2}=\sqrt{2a^2-8a+16}=\sqrt{2{\left(a-2\right)}^2+8}\ge \sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Vậy ${\left|z\right|}_{\min }=2\sqrt{2}$ khi $a=2\Rightarrow b=2\Rightarrow a+2b=6$

Cách 2: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , khi đó: $\left|z-2-4i\right|=\left|z-2i\right|\iff MA=MB$

Trong đó $\left\{\begin{array}{l}A\left(2;4\right)\\ B\left(0;2\right)\end{array}\right.$

Suy ra M thuộc đường thẳng trung trực $\Delta$ của AB với $\Delta :x+y-4=0$

Ta có: ${\left|z\right|}_{\min }=O{M}_{\min }\iff M$ là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng $∆$

Đường thẳng qua O vuông góc với $\Delta$ là: x-y=0

Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{array}{l}x+y-4=0\\ x-y=0\end{array}\right.\iff x=y=2\Rightarrow M\left(2;2\right)\Rightarrow z=2+2i\Rightarrow$ đáp số: 2+2.2=6