Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện: x > 0

Biến đổi phương trình tương đương: $2^{x^2+2x+m}+x^2+2x+m=2^{10x-6\ln x}+10x-6\ln x$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x^2+2x+m\\ v=10x-6\ln x\end{array}\right.$, khi đó phương trình có dạng:

 $2^u+u=2^v+v\iff f\left(u\right)=f\left(v\right)$ với $f\left(t\right)=2^t+1$ là hàm số đồng biến

 $\iff u=v\iff x^2+2x+m=10x-6\ln x\iff m=-x^2+8x-6\ln x=g\left(x\right)$ với x>0

Ta có: $g^{\text{'}}\left(x\right)=-2x+8-\frac{6}{x}=\frac{-2\left(x^2-4x+3\right)}{x}$

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi: $7<m<15-6\ln 3\approx 8,4\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m=8$