Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R có đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $y^{\text{'}}=\left(x+1\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+9}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+4}}\right).f^{\text{'}}\left(\sqrt{x^2+2x+9}-\sqrt{x^2+2x+4}\right)$

Khi đó: $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x+1=0\\ \sqrt{x^2+2x+9}=\sqrt{x^2+2x+4}\\ f^{\text{'}}\left(\sqrt{x^2+2x+9}-\sqrt{x^2+2x+4}\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ \left(\sqrt{x^2+2x+9}-\sqrt{x^2+2x+4}\right)\in \left\{-1;1;3\right\}\left(*\right)\end{array}\right.$

Do $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+2x+9}-\sqrt{x^2+2x+4}=\frac{5}{\sqrt{x^2+2x+9}+\sqrt{x^2+2x+4}}\\ x^2+2x+9\ge 8;x^2+2x+4\ge 3\end{array}\right.$

$\Rightarrow 0<\frac{5}{\sqrt{x^2+2x+9}+\sqrt{x^2+2x+4}}\le \frac{5}{\sqrt{8}+\sqrt{3}}\approx 1,096$ (2*)

Từ (*), (2*), suy ra: $\sqrt{x^2+2x+9}-\sqrt{x^2+2x+4}=1\iff \sqrt{x^2+2x+9}=\sqrt{x^2+2x+4}-1$

$\Rightarrow x^2+2x+9=x^2+2x+4-2\sqrt{x^2+2x+4}+1\iff \sqrt{x^2+2x+4}=2\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}\right.$

Vậy $y^{\text{'}}=0\iff x\in \left\{-1;0;-2\right\}$

Tính $y^{\text{'}}\left(1\right)=2.\left(\frac{1}{\sqrt{12}}-\frac{1}{\sqrt{7}}\right).f^{\text{'}}\left(\sqrt{12}-\sqrt{7}\right)\approx -0,18.f^{\text{'}}\left(0,82\right)>0$ (do $f^{\text{'}}\left(0,82\right)<0$)

Khí đó ta có bẳng xét dấu của  như sau:

Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu