Cho hàm số f(x) liên tục trên R đồng thời

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$. Đổi cận $x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=\frac{\pi }{2};x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=-\frac{\pi }{2}$

Khi đó, $I=-\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{-\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(-t\right)dt=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(-t\right)dt=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(-x\right)dx$

Mặt khác: $f\left(x\right)+f\left(-x\right)=3-2\cos x$

Ta có: $2I=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left[f\left(x\right)+f\left(-x\right)\right]dx=\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3-2\cos x\right)dx\Rightarrow I=\frac{1}{2}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3-2\cos x\right)dx$

Do $f\left(x\right)=3-2\cos x$ là hàm số chẵn trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$

Nên $I=\frac{1}{2}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3-2\cos x\right)dx=2.\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(3-2\cos x\right)dx=\left(3x-2\sin x\right)\left|{}_0^{\frac{\pi }{2}}\right.=\frac{3\pi }{2}-2$.