Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1\ge 0\\ x+2+\sqrt{x^2+1}\ne 0\end{array}\right.\iff x\in R$

Ta có ${\left(x+2-\sqrt{x^2+1}\right)}^2+\frac{18\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}{x+2+\sqrt{x^2+1}}=m\left(x^2+1\right)$

$\iff m={\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}-1\right)}^2+\frac{18}{\frac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}+1}$

Đặt $t=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+1}}\Rightarrow t^{\text{'}}=\frac{1-2\text{x}}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}$

Từ bảng biến thiên của t suy ra $t\in \left(-1;\sqrt{5}\right]$

Phương trình trở thành $m={\left(t-1\right)}^2+\frac{18}{t+1}\iff m=\frac{t^3-t^2-t+19}{t+1}$

$f\left(t\right)=\frac{t^3-t^2-t+19}{t+1}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{2\left(t-2\right)\left(t^2+3t+5\right)}{{\left(t+1\right)}^2}$

Lập bảng biến thiên của f(t) trên nửa khoảng $\left(-1;\sqrt{5}\right]$

Suy ta $f\left(t\right)\in \left[7;+\infty \right)$

Để phương trình ${\left(x+2-\sqrt{x^2+1}\right)}^2+\frac{18\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}{x+2+\sqrt{x^2+1}}=m\left(x^2+1\right)$

Có nghiệm thực thì $m\in \left[7;+\infty \right)$.

Mà m thuộc đoạn $\left[-2018;2018\right]$ nên $m\in \left[7;2018\right)$

Có 2012 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\left[-2018;2018\right]$ để phương trình có nghiệm thực