Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: $\int f\left(x\right)dx=\int \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}dx=2\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}dx-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx$

$=2\int \frac{d\left(\sin x\right)}{{\sin }^{2}x}-\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+C$

Do F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}$ trên khoảng $\left(0;\pi \right)$

Nên hàm số F(x) có công thức dạng $F\left(x\right)=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+C$ với mọi $x\in \left(0;\pi \right)$.

Xét hàm số $F\left(x\right)=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+C$ xác định và liên tục trên $\left(0;\pi \right)$.

$F^{\text{'}}\left(x\right)=f\left(x\right)=\frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}$

Xét $F^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{2\cos x-1}{{\sin }^{2}x}=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ $\left(k\in Z\right)$

Trên khoảng $\left(0;\pi \right)$, phương trình $F^{\text{'}}\left(x\right)=0$ có một nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$.

Bảng biến thiên.

$\underset{\left(0;\pi \right)}{\max }F\left(x\right)=F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}+C$

Theo đề bài ta có, $-\sqrt{3}+C=\sqrt{3}\iff C=2\sqrt{3}$

Do đó, $F\left(x\right)=-\frac{2}{\sin x}+\cot x+2\sqrt{3}$

Khi đó, $F\left(\frac{\pi }{6}\right)=3\sqrt{3}-4$