Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Giả sử $z=a+bi\left(a,b\in R\right)$ được biểu diễn bởi điểm M(a;b).

Khi đó số phức liên hợp của z là $\overline{z}=a-bi$ được biểu diễn bởi điểm $M^{\text{'}}\left(a;-b\right)$.

Ta có: $z\left(4+3i\right)=\left(a+bi\right)\left(4+3i\right)=4a+3ai+4bi-3b=\left(4a-3b\right)+\left(3a+4b\right)i$

Do đó số phức z(4+3i) được biểu diễn bởi điểm $N\left(4a-3b;3a+4b\right)$

Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức z(4+3i) là $N^{\text{'}}\left(4a-3b;-3a-4b\right)$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(a-a;-b-b\right)\\ \overrightarrow{N{N}^{\text{'}}}=\left(4\text{a}-3b-4\text{a}-3b;-3\text{a}-4b-3\text{a}-4b\right)\\ \overrightarrow{MN}=\left(4\text{a}-3b-a;3\text{a}+4b-b\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\left(0;-2b\right)\\ \overrightarrow{N{N}^{\text{'}}}=\left(0;-6\text{a}-8b\right)\\ \overrightarrow{MN}=\left(3\text{a}+3b;3\text{a}+3b\right)\end{array}\right.$

Vì MM'N'N là một hình chữ nhật nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}=\overrightarrow{N{N}^{\text{'}}}\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{M{M}^{\text{'}}}.\overrightarrow{MN}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-6\text{a}-8b\\ a,b\ne 0\\ -2b\left(3\text{a}+3b\right)=0\end{array}\right.\iff a=-b$

$$\begin{gathered} \Rightarrow z=-b+bi\Rightarrow \left|z+4i-5\right|=\left|-b-5+\left(b+4\right)i\right|=\sqrt{{\left(-b-5\right)}^2+{\left(b+4\right)}^2} \\ =\sqrt{2{\left(b+\frac{9}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Vậy ${\left|z+4i-5\right|}_{\min }=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff b=\frac{-9}{2}$ hay $z=\frac{9}{2}-\frac{9}{2}i$.