Phương trình log 2 x-2/căn bậc hai

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: ${\log }_2\frac{x-2}{\sqrt{x-3}}={\log }_3\frac{\sqrt{x-3}}{x-2}\iff \left\{\begin{array}{l}x>3\\ {\log }_2\left(x-2\right)+{\log }_3\left(x-2\right)={\log }_2\sqrt{x-3}+{\log }_3\sqrt{x-3}\end{array}\right.\left(1\right)$

Xét hàm $f\left(t\right)={\log }_{2}t+{\log }_{3}t$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right).$

Khi đó từ hệ phương trình $\left(1\right)\iff \left\{\begin{array}{l}x-2=\sqrt{x-3}\\ x>3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-5x+7=0\\ x>3\end{array}\right.\iff x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}.$

Vậy phương trình có một nghiệm