Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi H, E lần lượt là trung điểm của BC, AC thì $DH\perp \left(ABC\right).$

Ta có $BA\perp AC,HE/\text{}/BA\Rightarrow HE\perp CA.$

Lại có $AC\perp DH$ nên $AC\perp \left(DHE\right)\Rightarrow \left(DHE\right)\perp \left(DAC\right).$

Kẻ $HK\perp DE\left(K\in DE\right)\Rightarrow HK\perp \left(DAC\right).$

Tam giác DHE vuông tại H có $DH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2+4a^2}=a\sqrt{2},HE=\frac{1}{2}AB=a.$

Áp dụng công thức $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{D{H}^2}+\frac{1}{H{E}^2}$ ta tính được $HK=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vì H là trung điểm BC nên $d\left(B,\left(DAC\right)\right)=2d\left(H,\left(DAC\right)\right)=2HK=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy khoảng cách $d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{3V}{S_{SAB}}=\frac{3.\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{3}\sqrt{13}}{4}}=\frac{6a}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}a}{13}.$