Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$y=2x+\frac{mx}{\sqrt{x^2+2}}\Rightarrow y^{\text{'}}=2+\frac{m\sqrt{x^2+2}-\frac{m{x}^2}{\sqrt{x^2+2}}}{x^2+2}=2+\frac{2m}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}=0\iff m=-\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}$

Gọi A (x;y) là điểm cực trị ta có $y=2x+\frac{mx}{\sqrt{x^2+2}}=2x-x\left(x^2+2\right)=-x^3\Rightarrow A\left(x;-x^3\right).$

Yêu cầu bài toán $\Rightarrow OA\le \sqrt{68}\iff x^6+x^2-68\le 0\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$

$f\left(x\right)=-\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2},x\in \left[-2;2\right]$

$f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x\sqrt{x^2+2}-\left(x^2+2\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}=\frac{-3x^3-6x}{\sqrt{x^2+2}}\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=0$

Bảng biến thiên:

Để hàm số có cực trị thoả yêu cầu bài toán thì $-6\sqrt{6}\le m\le -2\sqrt{2}.$