Bất phương trình log 4 (x+2)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+2>0\\ \frac{2x+1}{x}>0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}-2<x<-\frac{1}{2}\\ x>0\end{array}\right.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(*\right)$

Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình: ${\log }_2\sqrt{x+2}+x+2-2\sqrt{x+2}<{\log }_2\left(2+\frac{1}{x}\right)+{\left(2+\frac{1}{x}\right)}^2-2\left(2+\frac{1}{x}\right)\left(1\right)$

+) Xét hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t^2-2t$ trên $\left(0;+\infty \right)$

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 2}+2t-2>\frac{1}{t}+2t-2=t+\frac{{\left(t-1\right)}^2}{t}>0,\forall t>0.$

Do đó f(t) đồng biến trên

Suy ra $\left(1\right)\iff f\left(\sqrt{x+2}\right)<f\left(2+\frac{1}{x}\right)\iff \sqrt{x+2}<2+\frac{1}{x}\left(2\right)$

+) Vì (*) nên (2) $\iff x+2<{\left(2+\frac{1}{x}\right)}^2\iff x+2<4+\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}$

$\iff x^3-2x^2-4x-1<0\iff x\in \left(-\infty ;-1\right)\cup \left(\frac{3-\sqrt{13}}{2};\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)$

Kết hợp điều kiện (*) ta được $S=\left(-2;-1\right)\cup \left(0;\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right).$