Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có:

$f\left(x\right)+2f\left(\frac{1}{x}\right)=3x$, chia cả 2 vế cho x ta được $\frac{f\left(x\right)}{x}+2\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}=3$

Lấy tích phân 2 vế

$\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\left[\frac{f\left(x\right)}{x}+2\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\right]dx=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}3dx$

$\iff \underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x}dx+2\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=3x\left|\begin{array}{l}2\\ \frac{1}{2}\end{array}\right.=\frac{9}{2}$

Xét $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx$: Đặt $\frac{1}{x}=t\Rightarrow -\frac{1}{x^2}dx=dt\Rightarrow dx=-\frac{dt}{t^2}.$ Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\Rightarrow t=2\\ x=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}\end{array}\right..$

Khi đó $\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=-\underset{2}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{t.f\left(t\right)}{t^2}dt\Rightarrow \underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(\frac{1}{x}\right)}{x}dx=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(t\right)}{t}dt=\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x}dx.$

Thay vào tích phân ban đầu ta được $3\underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\frac{9}{2}\Rightarrow \underset{\frac{1}{2}}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\frac{3}{2}.$