Cho số phức z thoả mãn modun z-8

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi $z=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)$ và $M\left(x,y\right)$ là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng phức. Xét các điểm $F_1\left(-8;0\right),F_2\left(8;0\right).$

Ta có: $M{F}_1=\sqrt{{\left(-8-x\right)}^2+{\left(-y\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+8\right)}^2+y^2}=\left|z+8\right|.$

$M{F}_2=\sqrt{{\left(8-x\right)}^2+{\left(-y\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-8\right)}^2+y^2}=\left|z-8\right|.$

$\Rightarrow \left|z-8\right|+\left|z+8\right|=20\iff \sqrt{{\left(x+8\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-8\right)}^2+y^2}=20\iff M{F}_1+M{F}_2=20.$

Do $M{F}_1+M{F}_2\ge F_1{F}_2\Rightarrow$ Tập hợp điểm M là một elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2a=20\\ c=8\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{a}^2=100\\ b^2=a^2-c^2=36\end{array}\right.\Rightarrow \frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\max \left|z\right|=10\\ \min \left|z\right|=6\end{array}\right.\Rightarrow m+n=16.$