Giả sử đồ thị hàm số y=(m^2+1)x^4-2mx^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $y^{\text{'}}=4\left(m^2+1\right)x^3-4mx=4x\left[\left(m^2+1\right)x^2-m\right].$

Cho $y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{\frac{m}{m^2+1}}\left(m>0\right)\end{array}\right..$

Khi m>0 thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị:

$A\left(-\sqrt{\frac{m}{m^2+1}};-\frac{m^2}{m^2+1}+m^2+1\right),B\left(0;m^2+1\right),C\left(\sqrt{\frac{m}{m^2+1}};-\frac{m^2}{m^2+1}+m^2+1\right).$

Tam giác ABC cân tại B, gọi I là trung điểm của AC.

Khi đó $BI=\frac{m^2}{m^2+1}.$

Khi quay tam giác ABC quay quanh AC thì được khối tròn xoay có thể tích là: $V=2.\frac{1}{3}.\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi B{I}^2.IC=\frac{2}{3}\pi {\left(\frac{m^2}{m^2+1}\right)}^2\sqrt{\frac{m}{m^2+1}}=\frac{2}{3}\pi \sqrt{\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}}$

Xét hàm số $f\left(m\right)=\frac{m^9}{{\left(m^2+1\right)}^5}$, ta có $f^{\text{'}}\left(m\right)=\frac{m^8\left(9-m^2\right)}{{\left(m^2+1\right)}^6}$, với m>0

Cho $f^{\text{'}}\left(m\right)=0\Rightarrow m=3\left(m>0\right).$

Bảng biến thiên của hàm số y = f(m):

Từ bảng biến thiên ta có $\max f\left(m\right)=f\left(3\right).$ Vậy thể tích lớn nhất khi $m=3\in \left(2;4\right).$