Cho hàm số y=f(x) liên tục, có đạo hàm cấp

* Hướng dẫn giải

Đặt $t=x^2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}dt=2xdx\\ x:0\to 1\Rightarrow t:0\to 1\end{array}\right..$

Khi đó: $I=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)dt=\frac{1}{2}{\left.f^{\text{'}}\left(t\right)\right|}_0^1=\frac{1}{2}.\left(f\text{'}\left(1\right)-f\text{'}\left(0\right)\right)$  (*)

Do hàm số y=f(x) có điểm cực trị $x=1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(1\right)=0.$

Phương trình đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}+\frac{y}{1}=1\iff y=-x+1$ (1)

Suy ra hệ số góc của đường thẳng $∆$ là $-1\Rightarrow f^{\text{'}}\left(0\right)=-1$ (2).

Thay (1), (2) vào (*), ta được: $I=\frac{1}{2}.\left(0-\left(-1\right)\right)=\frac{1}{2}.$

Chọn D