Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-10;10]

* Hướng dẫn giải

Ta có: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{m}{2}=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{m}{2}=\frac{\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x-m}{2}.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\sin 2x-m+12\\ v=\sqrt{3}\cos 2x+12\end{array}\right.,$ khi đó phương trình có dạng:

${2018}^{\frac{u-v}{2}}.{\log }_{2019}u={\log }_{2019}v\iff \frac{{\left(\sqrt{2018}\right)}^u}{{\left(\sqrt{2018}\right)}^v}.{\log }_{2019}u={\log }_{2019}v$

$\iff {\left(\sqrt{2018}\right)}^u.{\log }_{019}u={\left(\sqrt{2018}\right)}^v{\log }_{2019}v\iff f\left(u\right)=f\left(v\right)$ trong đó $f\left(t\right)={\left(\sqrt{2018}\right)}^t.{\log }_{2019}t$

$\iff u=v\iff \sin 2x-m+12=\sqrt{3}\cos 2x+12\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{m}{2}$ (*)

Do $x\in \left[\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{3}\right]\Rightarrow \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\in \left[0;3\pi \right]$ nên để (*) có 4 nghiệm thì: $0\le \frac{m}{2}<1$

$\iff 0\le m<2\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{0;1\right\}:$ có giá trị m thỏa mãn

Chọn D