Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều)

* Hướng dẫn giải

Gọi SABCDS' là khối đa diện đều cạnh a.

Khi đó: $V_{SABCD{S}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}S{S}^{\text{'}}.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.\sqrt{2}.a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$

Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều SABCDS' là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên).

Gọi I là trung điểm của CD.

Khi đó: $\frac{MN}{S{S}^{\text{'}}}=\frac{IM}{IS}=\frac{1}{3}\Rightarrow MN=\frac{1}{3}S{S}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Khi đó thể tích hình lập phương:

$V^{\text{'}}={\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^3=\frac{2a^3\sqrt{2}}{27}.$ Suy ra $\frac{V^{\text{'}}}{V}=\frac{\frac{2a^3\sqrt{2}}{27}}{\frac{a^3\sqrt{2}}{3}}=\frac{2}{9}$

Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}.$

Chọn D