Cho các số thực x,y thỏa mãn ln y

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Điều kiện: $y>0,x>-\sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\ln y+\ln 3\ge \ln \left(x^3+2\right)\iff \ln 3y\ge \ln \left(x^3+2\right)\iff 3y\ge x^3+2\iff 3\left(y-x\right)\ge x^3-3x+2$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên $\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right).$

Ta có: $h\text{'}\left(x\right)=3x^2-3,h\text{'}\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right..$

          $h\left(-1\right)=4,h\left(1\right)=0,h\left(-\sqrt[3]{2}\right)=3\sqrt[3]{2}>0.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right)}{\min }h\left(x\right)=0.$ Suy ra: $3\left(y-x\right)\ge 0\iff y-x\ge 0.$

Ta có: $$\begin{gathered} H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x\left(y+1\right)-y=e^{y-x+3y-\left(x^3+2\right)}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right)\ge \\ {e}^{y-x}-\frac{{\left(y-x\right)}^2}{2}-\left(y-x\right). \end{gathered}$$

Xét hàm số $g\left(t\right)=e^t-\frac{1}{2}{t}^2-t$ trên $\left[0;+\infty \right).$

Ta có: $g\text{'}\left(t\right)=e^t-t-1,g"\left(t\right)=e^t-1.$

Ta có: $\forall t\ge 0\Rightarrow g"\left(t\right)=e^t-1\ge e^0-1=0,$ suy ra hàm số g'(t) đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$

Suy ra: $\forall t\ge 0:g\text{'}\left(t\right)\ge g\text{'}\left(0\right)=0,$ suy ra hàm số g(t) đồng biến trên $\left[0;+\infty \right).$

Vậy $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }g\left(t\right)=g\left(0\right)=1,$ Suy ra: $H_{\min }=1.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\left\{\begin{array}{l}x=y\\ 3y=x^3+2\end{array}\right.\iff x=y=1.$