Cho hàm số f(x)=x^3-3x+m+2. Có

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+m+2,$ ta có:

                   $f\text{'}\left(x\right)=3x^2-3\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=\pm 1$

                  $f\left(1\right)=m,f\left(-1\right)=m+6,f\left(3\right)=m+20.$

Suy ra: $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=m,\underset{\left[-1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=m+20.$

Vì $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(c\right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nên: $f\left(x\right)>0,\forall x\in \left[-1;3\right]\iff \underset{\left[-1;3\right]}{\min }f\left(x\right)=m>0\Rightarrow 0<m<2018.$

Mặt khác, với mọi số thực $a,b,c\in \left[-1;3\right]$ thì $f\left(a\right),f\left(b\right),f\left(c\right)$ là độ dài ba cạnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $f\left(1\right),f\left(1\right),f\left(3\right)$ cũng là độ dài ba cạnh của tam giác nhọn

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)+f\left(1\right)>f\left(3\right)\\ {\left[f\left(1\right)\right]}^2+{\left[f\left(1\right)\right]}^2>{\left[f\left(3\right)\right]}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m>m+20\\ 2m^2>{\left(m+20\right)}^2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m>20\\ m<20-20\sqrt{2}hoặc m>20+\text{20}\sqrt{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff m>20+20\sqrt{2}\Rightarrow 20+20\sqrt{2}<m<2018.$

Mà $m\in \mathbb{Z}*\Rightarrow m=49;50;\mathrm{...};2017$ nên ta có $2017-48=1969$ giá trị nguyên dương của m