Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có $SH\perp \left(ABCD\right).$

Gọi O là tâm hình vuông ABCD,I là trung điểm $BO\Rightarrow HI//AC\Rightarrow HI\perp BD.$

$HI=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{4}.$

$\Delta ABD$ vuông tại $A\Rightarrow HD=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

$\Delta SHD$ vuông tại $H\Rightarrow SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{\frac{17a^2}{4}-\frac{5a^2}{4}}=a\sqrt{3}.$

Trong $\left(SHI\right),$ vẽ $HE\perp SI\left(E\in SI\right).$

$\frac{1}{H{E}^2}=\frac{1}{H{I}^2}+\frac{1}{S{H}^2}=\frac{8}{a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{25}{3a^2}\Rightarrow HE=\frac{a\sqrt{3}}{5}.$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BD\perp HI\\ BD\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SHI\right)\Rightarrow BD\perp HE.$

$\left\{\begin{array}{l}HE\perp SI\\ HE\perp BD\end{array}\right.\Rightarrow HE\perp \left(SBD\right).$

Ta có HK là đường trung bình $\Delta ABD\Rightarrow HK//BD\Rightarrow HK//\left(SBD\right).$

Do đó $d\left(KH,BD\right)=d\left(KH,\left(SBD\right)\right)=d\left(H,\left(SBD\right)\right)=HE=\frac{a\sqrt{3}}{5}.$