Cho hình chóp S.ABC có SA=x, BC=y

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi I,J lần lượt là trung điểm BC,SA nên $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AI\\ BC\perp SI\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAI\right).$

Hai tam giác cân  bằng nhau nên IA=IS suy ra $\Delta ISA$ cân tại I

Trong $\Delta SBI$ vuông tại I ta có $SI=\sqrt{S{B}^2-B{I}^2}=\sqrt{1^2-\frac{y^2}{4}}.$

Trong $\Delta SAI$ cân tại I ta có $IJ=\sqrt{S{I}^2-S{J}^2}=\sqrt{1^2-\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.$

Khi đó thể tích khối chóp  là $V=\frac{1}{3}.BC.S_{SAI}=\frac{1}{6}.BC.SA.IJ=\frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{y^2+x^4}{4}}$

Ta có $x^2+y^2\ge 2xy,\forall x,y\in ℝ\Rightarrow V\le \frac{1}{6}xy\sqrt{1-\frac{xy}{2}}$

$=\frac{1}{12}\sqrt{xy}.\sqrt{xy}.\sqrt{4-2xy}\le \frac{1}{12}{\left(\frac{xy+xy+4-2xy}{3}\right)}^{\frac{3}{2}}\le \frac{2\sqrt{3}}{27}$

Dấy “=” xảy ra tại $x=y=\frac{2}{\sqrt{3}}$ suy ra $x+y=\frac{4}{\sqrt{3}}.$