Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Kẻ $d//AB//CD\left(S\in d\right)\Rightarrow d=\left(SAB\right)\cap \left(SCD\right).$

Gọi P,K lần lượt là trung điểm của AB,CD. Do ABCD là hình chữ nhật nên:

$d//CD\perp \left(SOK\right)\Rightarrow d//CD\perp SK\left(1\right)$.

$d//AB\perp \left(SOP\right)\Rightarrow d//AB\perp SP\left(2\right)$.

Từ $\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow SK,SP\perp d\Rightarrow \widehat{\left(\left(SAB\right),\left(SCD\right)\right)}=\widehat{\left(SP,SK\right)}=\widehat{PSK}={60}^0$.

Xét tam giác SOK vuông tại O, ta có: $\frac{OK}{SO}=\tan \widehat{OSK}$.

$\Rightarrow SO=\frac{OK}{\tan \widehat{OSK}}=\frac{a}{\tan {30}^0}=a\sqrt{3}$

Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có: $SD=\sqrt{S{O}^2+O{D}^2}=\sqrt{3a^2+{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{17}}{2}.$

Kẻ đường trung trực của SD cắt SO tại I khi đó $\Delta SID$ cân tại I.

$\Rightarrow IS=ID=IA=IB=IC=R$.

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là I, bán kính mặt cầu R=IS.

Ta có: $R=IS=\frac{S{D}^2}{2SO}=\frac{\frac{17a^2}{4}}{2.a\sqrt{3}}=\frac{17a\sqrt{3}}{24}.$