Cho hình chóp S.ABC có đáy AB là tam giác

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Do $SA\perp \left(ABC\right)$ nên góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là góc $\widehat{SCA}.$ Suy ra $\widehat{SCA}={30}^0$.

Trong tam giác SCA vuông tại A có $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}\iff SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a.\tan {30}^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Khi đó $d\left(SB,AC\right)=d\left(AC,\left(SBD\right)\right)=d\left(A,\left(SBD\right)\right)$.

Ta có $AB=BD=AD\Rightarrow \Delta ABD$ đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm BD. Suy ra $AM\perp BD$ và $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Trong $\Delta SAM$ kẻ $AH\perp SM$ với $H\in SM.$

Do $\left.\begin{array}{l}BD\perp AM\\ BD\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow BD\perp \left(SAM\right)\Rightarrow BD\perp AH$

Suy ra $AH\perp \left(SAM\right)\Rightarrow d\left(A,\left(SBD\right)\right)=AH.$

Trong $\Delta SAM$ vuông tại A ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{S{A}^2}\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{4}{3a^2}+\frac{9}{3a^2}\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{13}{3a^2}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$.

Vậy $d\left(SB,AC\right)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{13}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}.$