Tìm số các cặp số nguyên (a;b) thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt $t={\log }_{a}b,$ khi đó ${\log }_{a}b+6{\log }_{b}a=5$ trở thành

             $t+6\frac{1}{t}=5\iff t^2-5t+6=0\iff \left[\begin{array}{l}t=2\\ t=3\end{array}\right..$

Với t=2 suy ra: ${\log }_{a}b=2\iff b=a^2.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}2\le a\le 2020\\ 2\le b\le 2021\\ b=a^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\le a\le 2020\\ 2\le a^2\le 2021\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\le a\le 2020\\ 1,41\approx \sqrt{2}\le a\le \sqrt{2021}\approx 44.96\end{array}\right.$

Suy ra ta có 43 số $a\in \left\{2;3;4;\mathrm{...};44\right\}$, tương ứng có 43 số $b\in \left\{a_i^2,i=\overline{2,44}\right\}.$ Trường hợp này có 43 cặp.

Với t=3, suy ra: ${\log }_{a}b=3\iff b=a^3$.

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}a,b\in \mathbb{Z}\\ 2\le a\le 2020\\ 2\le b\le 2021\\ b=a^3\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\le a\le 2020\\ 2\le a^3\le 2021\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\le a\le 2020\\ 1.26\approx \sqrt[3]{2}\le a\le \sqrt[3]{2021}\approx 12.64\end{array}\right.$

Suy ra có 11 số $a\in \left\{2;3;4;\mathrm{...};12\right\},$ tương ứng có 11 số $b\in \left\{a_i^3,i=\overline{2,12}\right\}.$ Trường hợp này có 11 cặp.

Vậy có 43+11=54 cặp