Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

- Tính tỉ lệ thể tích $\frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}$ dựa vào công thức tỉ lệ thể tích Simpson.

- So sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $S.ECD$ và S.ABCD, từ đó tính thể tích khối chóp S.GMN.

Giải chi tiết:

Gọi E là trung điểm của AB. Vì G là trọng tâm $\Delta SAB$ nên $\frac{SG}{SE}=\frac{2}{3}$.

Ta có:

$\frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}=\frac{SG}{SE}.\frac{SM}{SC}.\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow V_{S.GMN}=\frac{1}{6}{V}_{S.ECD}$

Ta có: S.ECD và S.ABCD là hai khối chóp có cùng chiều cao nên

$\frac{V_{S.ECD}}{V_{S.ABCD}}=\frac{S_{ECD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}d\left(E;CD\right).CD}{d\left(E;CD\right).CD}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ECD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.GMN}=\frac{1}{6}.\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{12}{V}_{S.ABCD}=\frac{V}{12}$