Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp giải:

Xét 2 TH:

- TH1: $m^2-1=0$, thay m vào hàm số, xét xem hàm số có thỏa mãn nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ hay không?

- TH2: $m^2-1\ne 0$. Hàm số y=f(x) nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ khi và chỉ khi $y^{\text{'}}\le 0\forall x\in ℝ$

+ Tam thức bậc hai $a{x}^2+bx+c\le 0\forall x\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a<0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.$.

Giải chi tiết:

TH1: $m^2-1=0\iff m=\pm 1$.

+ Với $m=1\Rightarrow y=-x$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ (thỏa mãn).

+ Với $m=-1\Rightarrow y=-2x^2-x$ nghịch biến trên $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)$ (không thỏa mãn).

TH2: $m^2-1\ne 0\iff m\ne \pm 1$.

Khi đó ta có $y^{\text{'}}=3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1$.

Để hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ thì $y^{\text{'}}\le 0\forall x\in ℝ$

$\iff 3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1\le 0\forall x\in ℝ$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3\left(m^2-1\right)<0\\ {\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2+3\left(m^2-1\right)\le 0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ m^2-2m+1+3m^2-3\le 0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ 4m^2-2m-2\le 0\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -\frac{1}{2}\le m\le 1\end{array}\right.\iff -\frac{1}{2}\le m<1$

Kết hợp 2 TH ta có $m\in \left[-\frac{1}{2};1\right]$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{0;1\right\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán