Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Mở rộng mặt phẳng (B'MG), chứng minh $\left(B^{\text{'}}MG\right)\equiv \left(B^{\text{'}}GN\right)$ với N là trung điểm của AB.

- Đổi $d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$ sang $d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$.

- Trong (ABCD) kẻ $BH\perp GN$, trong (B'BH) kẻ $BK\perp B^{\text{'}}N$. Chứng minh $BK\perp \left(B^{\text{'}}GN\right)$.

- Sử dụng tam giác đồng dạng, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của AB, ta có $B^{\text{'}}M//DN$ nên $B^{\text{'}},M,D,N$ đồng phẳng $\Rightarrow \left(B^{\text{'}}MG\right)\equiv \left(B^{\text{'}}GN\right)$.

$\Rightarrow d\left(C;\left(B^{\text{'}}MG\right)\right)=d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$.

Gọi $O=AC\cap BD$, ta có $\frac{AG}{AO}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AG}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{AG}{CG}=\frac{1}{2}$.

Ta có $CA\cap \left(B^{\text{'}}GN\right)=G\Rightarrow \frac{d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)}{d\left(A;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)}=\frac{CG}{AG}=2$

$\Rightarrow d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=2d\left(A;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$.

Lại có $AB\cap \left(B^{\text{'}}GN\right)=N\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)}{d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)}=\frac{AN}{BN}=1$

$\Rightarrow d\left(A;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$ $\Rightarrow d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=2d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)$

Trong (ABCD) kẻ $BH\perp GN$, trong (B'BH) kẻ $BK\perp B^{\text{'}}N$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}GN\perp BH\\ GN\perp B{B}^{\text{'}}\end{array}\right.\Rightarrow GN\perp \left(B{B}^{\text{'}}H\right)\Rightarrow GN\perp BK$

$\left\{\begin{array}{l}BK\perp B^{\text{'}}H\\ BK\perp GN\end{array}\right.\Rightarrow BK\perp \left(B^{\text{'}}GN\right)\Rightarrow d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=BK$

Ta có $\Delta BNH~\Delta DNA\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{BH}{AD}=\frac{BN}{DN}$ $\Rightarrow BH=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BB'H ta có: $BK=\frac{B{B}^{\text{'}}.BH}{\sqrt{B{B^{\text{'}}}^2}+B{H}^2}=\frac{a.\frac{a\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{5}}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vậy $d\left(C;\left(B^{\text{'}}MG\right)\right)=d\left(C;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=2d\left(B;\left(B^{\text{'}}GN\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.