Cho bất phương trình log 3 (x^2+2x+2)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp giải:

- Giải bất phương trình ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)>0$.

- Cô lập m, đưa các bất phương trình về dạng $m<f\left(x\right)\forall x\in \left(a;b\right)\iff m\le \underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)$.

Giải chi tiết:

Ta có: ${\log }_3\left(x^2+2x+2\right)+1>{\log }_3\left(x^2+6x+5+m\right)\forall x\in \left(1;3\right)$

$\iff {\log }_3\left(3x^2+6x+6\right)>{\log }_3\left(x^2+6x+5+m\right)\forall x\in \left(1;3\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+5+m>0\forall x\in \left(1;3\right)\\ 3x^2+6x+6>x^2+6x+5+m\forall x\in \left(1;3\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+5+m>0\forall x\in \left(1;3\right)\left(1\right)\\ 2x^2+1-m>0\forall x\in \left(1;3\right)\left(2\right)\end{array}\right.$

Giải (1): $x^2+6x+5+m>0\forall x\in \left(1;3\right)\iff x^2+6x+5>-m\forall x\in \left(1;3\right)$.

Đặt $f\left(x\right)=x^2+6x+5$ ta có $-m<f\left(x\right)\forall x\in \left(1;3\right)\iff -m\le \underset{\left[1;3\right]}{\min }f\left(x\right)$.

BBT:

Từ BBT $\Rightarrow \left(1\right)\iff -m\le 12\iff m\ge -12$.

Giải (2): $2x^2+1-m>0\forall x\in \left(1;3\right)\iff m<2x^2+1\forall x\in \left(1;3\right)$.

Đặt $g\left(x\right)=2x^2+1$ ta có $m<g\left(x\right)\forall x\in \left(1;3\right)\iff m\le \underset{\left[1;3\right]}{\min }g\left(x\right)$.

BBT:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \left(2\right)\iff m\le 3$.

Kết hợp ta có $-12\le m\le 3$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-12;-11;-10;\mathrm{...};1;2;3\right\}$.

Vậy có 16 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán