Tìm S là tập hợp các giá trị thực của tham số m

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Để hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ thì $y^{\text{'}}<0\forall x\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

- Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm số mũ: ${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}{a}^u\ln a$.

Giải chi tiết:

Ta có $y=2^{\frac{mx+1}{x+m}}\left(x\ne -m\right)$ $\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}{2}^{\frac{mx+1}{x+m}}\ln 2$.

Để hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ thì $y^{\text{'}}<0\forall x\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

$\iff \frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}{2}^{\frac{mx+1}{x+m}}\ln 2<0\forall x\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ $\iff \frac{m^2-1}{{\left(x+m\right)}^2}<0\forall x\in \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-1<0\\ -m\notin \left(\frac{1}{2};+\infty \right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -m\le \frac{1}{2}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ m\ge -\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff -\frac{1}{2}\le m<1$

Vậy $m\in \left[-\frac{1}{2};1\right)$.