Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (x;y)

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: $4^x+4^y=32y-32x+48\iff 4^x+32x=32y-4^y+48$.

Vì $x,y\in {\mathbb{N}}^{*},x<y$ nên ta thử các TH sau:

+ Với x=1,y=2 ta có: $4+32=64-16+48\iff 36=96$ (Vô lí).

$\Rightarrow x\ge 2\Rightarrow VT=4^x+32x\ge 80\left(1\right)$.

Xét hàm số $f\left(y\right)=32y-4^y+48$ ta có $f^{\text{'}}\left(y\right)=32-4^y\ln 4=0\iff y={\log }_4\frac{32}{\ln 4}{f}^{\text{'}}\left(y\right)=32-4^y\ln 4=0\iff y={\log }_4\frac{32}{\ln 4}$.

BBT:

Vì $y\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $f\left(y\right)=32y-4^y+48\in {\mathbb{N}}^{*}$, dựa vào BBT $\Rightarrow f\left(y\right)\le 97\left(2\right)$.

Từ (1) và (2)

 $\Rightarrow 80\le f\left(y\right)\le 97\Rightarrow 80\le VP\le 97\Rightarrow 80\le VT\le 97$ $\Rightarrow 80\le 4^x+32x\le 97\left(*\right)$.

Hàm số $g\left(x\right)=4^x+32x$ đồng biến trên $ℝ$, do đó từ (*) ta suy ra x=2.

Với x=2 ta có $80=32y-4^y+48\iff 32y-4^y=32$, sử dụng MODE7 ta tìm được y=3.

Vậy có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn là (x;y)=(2;3).