Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Kẻ $B^{\text{'}}H\perp BC\left(H\in BC\right)$. Chứng minh $B^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$.

- Đặt $B^{\text{'}}H=x\left(x>0\right)$, tính BH theo x.

- Gọi M là trung điểm của AB, trong (ABC) kẻ $HK//CM\left(K\in AB\right)$, tính  theo x, từ đó tính $S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ theo x.

- Tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}{V}_{C.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}{B}^{\text{'}}K.S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=B^{\text{'}}H.S_{\Delta ABC}$. Giải phương trình tìm x, từ đó tính $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

Giải chi tiết:

Kẻ $B^{\text{'}}H\perp BC\left(H\in BC\right)$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\perp \left(ABC\right)=BC\\ B^{\text{'}}H\subset \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right);B^{\text{'}}H\perp BC\end{array}\right.$$\Rightarrow B^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$.

Đặt $B^{\text{'}}H=x\left(x>0\right)\Rightarrow BH=\sqrt{a^2-x^2}$ (Định lí Pytago trong tam giác vuông BB'H).

Gọi M là trung điểm của AB ta có $CM\perp AB$ và $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (do $\Delta ABC$ đều ạnh a ).

Trong (ABC) kẻ $HK//CM\left(K\in AB\right)$, áp dụng định lí Ta-lét ta có:

 $\frac{HK}{CM}=\frac{BH}{BC}\Rightarrow \frac{HK}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ $\Rightarrow HK=\frac{\sqrt{3}\sqrt{a^2-x^2}}{2}$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  ta có:

Ta có: $B^{\text{'}}{K}^2=B^{\text{'}}{H}^2+H{K}^2=x^2+\frac{3}{4}\left(a^2-x^2\right)=\frac{3}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{x}^2\Rightarrow B^{\text{'}}K=\frac{\sqrt{3a^2+x^2}}{2}$.

Khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp B^{\text{'}}H\\ AB\perp HK\left(HK//CM\right)\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(B^{\text{'}}HK\right)\Rightarrow AB\perp B^{\text{'}}K$

Ta có: $S_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=B^{\text{'}}K.AB=\frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}$.

$C{C}^{\text{'}}//B{B}^{\text{'}}\Rightarrow C{C}^{\text{'}}//\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\Rightarrow d\left(C{C}^{\text{'}};\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)=\frac{a\sqrt{12}}{5}$

$\Rightarrow V_{C.AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}{S}_{AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}.d\left(C;\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\right)$

$=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3a^2+x^2}}{2}.\frac{a\sqrt{12}}{5}$

$=\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}=\frac{2}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{3}{2}.\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{30}=\frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}$

Lại có $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=B^{\text{'}}H.S_{\Delta ABC}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow \frac{a^2\sqrt{12}\sqrt{3a^2+x^2}}{20}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\iff \frac{2\sqrt{3a^2+x^2}}{5}=x\iff 4\left(3a^2+x^2\right)=25x^2$

$\iff 21x^2=12a^2\iff x=\frac{2\sqrt{7}}{7}a$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=x.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2\sqrt{7}}{7}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{21}{a}^3}{14}$.