Cho hình chóp S.ABC có AB=a, BC

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa SA và mặt đáy là góc giữa SA và hình chiếu của nó trên mặt đáy.

- Từ đó tính SH theo HA.

- Tính $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC$ không đổi $\Rightarrow V_{S.ABC}$ đạt GTNN khi HA nhỏ nhất.

- HA đạt GTNN khi và chỉ khi $HA\perp BC$, từ đó tính HA và tính GTNN của $V_{S.ABC}$.

Giải chi tiết:

$\Rightarrow \angle \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SA;HA\right)=\angle SAH={45}^0$.

Ta có $SH\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SH\perp AH\Rightarrow \Delta SAH$ vuông cân tại H $\Rightarrow SH=AH$.

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC.\sin \angle ABC=\frac{1}{2}.a.a\sqrt{3}.\sin {60}^0=\frac{3a^2}{4}$.

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}AH.\frac{3a^2}{4}=\frac{a^2}{4}.AH$

Để $V_{S.ABC}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $A{H}_{\min }\iff AH\perp BC$ $\Rightarrow AH=\frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}=\frac{2.\frac{3a^2}{4}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\min V_{S.ABC}=\frac{a^2}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$.