Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Trong (SAD) vẽ $SH\perp AD$ với $H\in AD$.

Trong (ABCD) vẽ $HE\perp BC$ với $E\in BC.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(SAD\right)\cap \left(ABCD\right)=AD\\ SH\subset \left(SAD\right).SH\perp AD\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$ tại H

$\left\{\begin{array}{l}BC\perp HE\\ BC\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SHE\right)\Rightarrow BC\perp SE.$

$\left\{\begin{array}{l}\left(SBC\right)\cap \left(ABCD\right)=BC\\ SE\subset \left(SBC\right),SE\perp BC\\ HE\subset \left(ABCD\right),HE\perp BC\end{array}\right.\Rightarrow \left(\widehat{\left(SBC\right),\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SE,HE}\right)=\widehat{SEH}={60}^0$

$\Delta SHE$ vuông tại H có $\widehat{SEH}={60}^0,HE=AB=a.$

Suy ra $SH=HE.\tan \widehat{SEH}=a.\tan {60}^0=a\sqrt{3}.$

Đặt SD=x suy ra $SA=2x.$

$\Delta SAD$ vuông tại S có $SD=x,SA=2x,$ đường cao $SH=a\sqrt{3}.$

Do đó $\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{S{D}^2}\iff \frac{1}{3a^2}=\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{x^2}\iff x^2=\frac{15}{4}{a}^2.$

Mặt khác $AD=\frac{SA.SD}{SH}=\frac{2x^2}{a\sqrt{3}}=\frac{15a^2}{2}.\frac{1}{a\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{2}a.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.SH.AB.AD=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.a.\frac{5\sqrt{3}}{2}a=\frac{5}{2}{a}^3.$