Gọi S là tập các giá trị dương của tham số m

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $y\text{'}=3x^2-6mx+27,\Delta {\text{'}}_{y\text{'}}=9m^2-81$

Để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+27x+3m-2$ đạt cực trị tại $x_1,x_2$ thì $\Delta {\text{'}}_{y\text{'}}>0\iff 9m^2-81>0\iff \left[\begin{array}{l}m>3\\ m<-3\end{array}\right.\left(*\right)$

Khi đó phương trình y'=0 có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=9\end{array}\right.\left(1\right)$

Theo bài ra ta có $\left|x_1-x_2\right|\le 5\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1.x_2\le 25\left(2\right)$

Thay (1) vào (2), được: $4m^2-36\le 25\iff m^2\le \frac{61}{4}\iff -\frac{\sqrt{61}}{2}\le m\le \frac{\sqrt{61}}{2}$

Kết hợp điều kiện (*) suy ra tập các giá trị dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là $S=\left(3;\frac{\sqrt{61}}{2}\right].$ Vậy $T=2.\frac{\sqrt{61}}{2}-3=\sqrt{61}-3.$