Cho hình nón đỉnh O có thiết diện đi qua trục

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Do tam giác vuông cân OAB nên ta có $OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}=OM=ON$ và $OI=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$

Gọi I là tâm đường tròn đáy và H là giao điểm của MN và AB. Suy ra $IH\perp MN$ và H là trung điểm MN. Khi đó $OH\perp MN$.

Vậy góc giữa (P) và mặt phẳng đáy là góc $\widehat{OHI}$. Khi đó $\widehat{OHI}={60}^0$.

Trong tam giác $\Delta OIH$ vuông tại  ta có

           $\sin \widehat{OHI}=\frac{OI}{OH}\iff OH=\frac{OI}{\sin \widehat{OHI}}=\frac{a}{2\sin {60}^0}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Trong tam giác $\Delta OHM$ vuông tại H ta có $MH=\sqrt{O{M}^2-O{H}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}-\frac{3a^2}{9}}=\frac{a\sqrt{6}}{9}.$

Suy ra $MN=2MH=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Vậy diện tích $\Delta OMN$ là $S_{\Delta OMN}=\frac{1}{2}.OH.MN=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^2\sqrt{2}}{6}$ (đvdt).