Số nghiệm của phương trình 2^log 5 (x+3)

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Điều kiện: x>-3

Đặt: $t={\log }_3\left(x+3\right)\Rightarrow x=5^t-3$

Phương trình trở thành $2^t=5^t-3\iff {\left(\frac{2}{5}\right)}^t+3{\left(\frac{1}{5}\right)}^t=1\left(1\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{5}\right)}^t+3{\left(\frac{1}{5}\right)}^t$ có $f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{5}\right)}^t\ln \frac{2}{5}+3{\left(\frac{1}{5}\right)}^t\ln \frac{1}{5}<0,\forall t$ nên hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right).$

Ta lại có f(1)=1 nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất t=1

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=2