Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi M là trung điểm của BC và H là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có S.ABC là chóp đều $\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$

Gọi $SM\cap EF=N.$

Ta có $BC\perp AM,BC\perp SM\Rightarrow BC\perp \left(SAM\right)\Rightarrow BC\perp AN$.

Lại có $EF//BC\Rightarrow EF\perp AN$ và $SN\perp EF$.

Mặt khác $\left(AEF\right)\cap \left(SBC\right)=EF,\left(AEF\right)\perp \left(SBC\right)=\left(\left(AEF\right),\left(SBC\right)\right)=\widehat{SNA}={90}^0$

$\Rightarrow AN\perp SM,$ mà N là trung điểm của $SM\Rightarrow \Delta ASM$ cân tại A

$\Rightarrow AS=AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét tam giác SHA vuông tại H, có $SA=\frac{a\sqrt{3}}{2},AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{6}.$

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.SH=\frac{a^3\sqrt{5}}{24}.$