Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt ${\log }_2\left(x+2^{y-1}\right)=t\Rightarrow x+2^{y-1}=2^t\iff x=2^t-2^{y-1}.$

Phương trình đã cho trở thành: $2^y-t=2\left(2^t-2^{y-1}\right)-y\iff {2.2}^y+y={2.2}^t+t$

Xét hàm số $f\left(x\right)={2.2}^x+x$ đồng biến trên $ℝ\Rightarrow y=t.$

Suy ra phương trình ${\log }_2\left(x+2^{y-1}\right)=y\iff x+2^{y-1}=2^y\iff x=2^{y-1}.$

$2\le x\le 2021\Rightarrow 2\le 2^{y-1}\le 2021\iff 1\le y-1\le {\log }_{2}2021$

$\iff 2\le y\le {\log }_{2}2021+1.$

Do $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{2;3;4;\mathrm{...};11\right\}$ có 10 giá trị nguyên của y.

Mà $x=2^{y-1}$ nên với mỗi số nguyên $y\in \left\{2;3;4;\mathrm{...};11\right\}$ xác định duy nhất một giá trị nguyên của x

Vậy có 10 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn bài toán