Cho hàm số f(x)=x^5+3x^3-4m. Có bao nhiêu

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt $u=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\Rightarrow f\left(x\right)=u^3-m\left(1\right).$

Khi đó $f\left(\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\right)=x^3-m\iff f\left(u\right)=x^3-m\left(2\right).$

Lấy (1)-(2) ta được $f\left(u\right)-f\left(x\right)=u^3-x^3\iff f\left(u\right)+u^3=f\left(x\right)+x^3\left(*\right).$

Xét $h\left(t\right)=f\left(t\right)+t^3=t^5+4t^3-4m\Rightarrow h\text{'}\left(t\right)=5t^4+12t^2\ge 0\forall \text{t.}$

Kết hợp (*) yêu cầu bài toán $\iff x=\sqrt[3]{f\left(x\right)+m}\iff f\left(x\right)=x^3-m$ có nghiệm thuộc [1;2]

$\iff x^5+3x^3-4m=x^3-m\iff g\left(x\right)=x^5+2x^3=3m$ có nghiệm thuộc [1;2]

Mà $g\text{'}\left(x\right)=5x^4+6x^2\ge 0\forall x\in \left[1;2\right]\Rightarrow g\left(1\right)\le 3m\le g\left(2\right)\iff 3\le 3m\le 48\iff 1\le m\le 16$.