Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Theo bài $SA\perp \left(ABH\right)\Rightarrow V_{S.ABH}=\frac{1}{3}SA.S_{ABH}.$ Nên $V_{S.ABH}$ lớn nhất khi $S_{ABH}$ lớn nhất.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow \widehat{\left(SC,\left(SAB\right)\right)}=\widehat{CSB}={30}^0$

Xét $\Delta SBC$ vuông tại B ta có $\tan \widehat{CBS}=\tan {30}^0=\frac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}.$

Xét $\Delta SAB$ vuông tại A ta có $S{B}^2=S{A}^2+A{B}^2\Rightarrow SA=a\sqrt{2}.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}BM\perp SH\\ BM\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BM\perp \left(SAH\right)\Rightarrow BM\perp AH\Rightarrow BH\perp AH$ nên $\Delta ABH$ vuông tại H.

Gọi x,y là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác $\Delta ABH$ có cạnh huyền là $a,0<x<a$ và 0<y<a. Diện tích $\Delta ABH$ là $S=\frac{1}{2}xy.$ Ta có $x^2+y^2=a^2.$

$S_{ABH}$ lớn nhất khi và chỉ khi $x^2{y}^2=x^2\left(a^2-x^2\right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra $S_{ABH}=\frac{a^2}{4}$ lớn nhất khi $x=y=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ Vậy $V_{S.ABH}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$ lớn nhất