Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$.

$y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m^2-2\right)$

$y\text{'}=0\iff x^2-2mx+m^2-2=0.$

Ta có: $\Delta \text{'}=2>0,\forall m$ nên y'=0 luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m\\ x_1.x_2=m^2-2\end{array}\right..$

Hàm số đồng biến trên $\left(12;+\infty \right)\iff x_1<x_2\le 12$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(x_1-12\right)\left(x_2-12\right)\ge 0\\ \frac{x_1+x_2}{2}<12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1.x_2-12\left(x_1+x_2\right)+144\ge 0\\ x_1+x_2<24\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-2-12.2m+144\ge 0\\ 2m<24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2-24m+142\ge 0\\ m<12\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m\le 12-\sqrt{2}\\ m\ge 12+\sqrt{2}\end{array}\right.\\ m<12\end{array}\right.\iff m\le 12-\sqrt{2}.$

Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow m\in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}.$