Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi N là trung điểm của $A\text{'}A\Rightarrow NE//A\text{'}B\Rightarrow AB\text{'}//\left(CNE\right)$

Do đó $d\left(CE;A\text{'}B\right)=d\left(A\text{'}B;\left(CNE\right)\right)=d\left(A\text{'};\left(CNE\right)\right)=d\left(A;\left(CNE\right)\right)$

Từ A hạ $AH\perp NE$ và $AK\perp CH$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AC\perp AB\\ AC\perp AA\text{'}\end{array}\right.\Rightarrow AC\perp NE$ mà $AH\perp NE$ nên $NE\perp \left(AHC\right)$.

$\Rightarrow \left(AHC\right)\perp \left(CNE\right)$ theo giao tuyến

Mặt khác $AK\perp CH$ nên $AK\perp \left(CNE\right)$ vì vậy $d\left(A;\left(CNE\right)\right)=AK$.

Trong tam giác vuông AHC có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{H}^2}$

Trong tam giác vuông ANE có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{N}^2}$

Vậy $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{E}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{1}{{\left(3a\right)}^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{{\left(2a\right)}^2}\Rightarrow AK=\frac{6a}{7}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và CE bằng $\frac{6a}{7}.$